NOÇÕES DE LÓGICA # BI-IMPLICAÇÃO

Note que  a bi-implicação p ↔ q só é verdadeira quando os valores-verdade de p e q são iguais.

EXEMPLO 8:
a) p: Quito é a capital do Equador (V); q: O Acre é um estado brasileiro (V)
    p ↔ q; Quito é a capital do Equador se, e somente se, o Acre é um estado brasileiro (V)

b) p: Roma é a capital da Itália (V); q: Paris é a capital da Espanha (F)
    p ↔ q: Roma é a capital da Itália se, somente se, Paris é a Capital da Espanha (F)

c) p: O cachorro é um felino (F); q: O cavalo é um equino (V)
    p ↔ q: O cachorro é um felino se, somente se,o cavalo é um equino (F)

d) p: O cachorro é um felino (F); q O cavalo é um bípede (F)
    p ↔ q: O cachorro é um felino se, somente se, o cavalo é um bípede (V)

NOÇÕES DE LÓGICA # IMPLICAÇÃO

Note que a implicação p → q só é falsa se p é verdadeira e q é falsa.

EXEMPLO 7:
a) p: Pelé é brasileiro (V); q: Pelé jogou futebol no Santos (V)
    p → q: Se Pelé é brasileiro, então ele jogou futebol no Santos (V)

b) p: Pelé jogou futebol no Santos (V); q: Santos é a capital de São Paulo (F)
    p → q: Se Pelé jogou futebol no Santos, então Santos é a capital de São Paulo (F)

c) p: Santos é a capital de São Paulo (F); q: Pelé jogou Futebol no Santos (V)
    p → q: Se Santos é a Capital de São Paulo, então Pelé jogou futebol no Santos (V)

d) p: 5 = 12 (F); q: 12 < 8 (F)
    p → q: Se 5 = 12, então 12 < 8 (V)

NOÇÕES DE LÓGICA # DISJUNÇÃO

 Note que à disjunção p ∨ q só é falsa se p e q são ambas falsas.

EXEMPLO 6:

a) p: 5 < 12 (V); q: 2 é um número primo (V)

    p ∨ q: 5 < 12 ou 2 é um número primo (V)

b) p: O gato é um felino (V); q: O pato é um mamífero (F)

    p ∨ q: O gato é um felino ou o pato é um mamífero (V)

c) p: O gato é bípede (F); q: A cobra é um réptil (V)

    p ∨ q: O gato é bípede ou a cobra é um réptil (V)

d) p:O cachorro é um felino (F); q: O cavalo é um réptil (F)

    p ∨ q: O cachorro é um felino ou o cavalo é um réptil (F)

NOÇÕES DE LÓGICA # CONJUNÇÃO

  Note que a conjunção p ∧ q só é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras.

EXEMPLO 5:
a) p: Pelé é brasileiro (V); q: Pelé jogou futebol no Santos (V)
    p ∧ q: Pelé é brasileiro e jogou futebol no Santos (V)

b) p: 2 + 5 = 7 (V); q: 42 é divisível por 4 (F)
    p ∧ q: 2 + 5 = 7 e 42 é divisível por 4 (F)

c) p: Teresina é a capital do Paraná (F); q: Paraná é um estado do sul do Brasil(V)
    p ∧ q: Teresina é a capital do Paraná e Paraná é um estado do sul do Brasil (F)

d) p: Teresina é a capital do Paraná (F); q: Paraná é um estado do sudeste brasileiro (F)
    p ∧ q: Teresina é a capital do Paraná e Paraná é um estado do sudeste brasileiro (F)

NOÇÕES DE LÓGICA # TABELA-VERDADE # NEGAÇÃO

  Sabemos que uma proposição simples pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).
  O valor-verdade (V ou F) de uma proposição composta depende dos valores-verdade das proposições simples que a compõem. Ele pode ser determinado por meio de um dispositivo denominado tabela-verdade, na qual figuram as possíveis combinações dos valores-verdade das proposições componentes.
  Assim, por exemplo, se uma proposição é composta de duas proposições p e q, as únicas combinações possíveis dos valores-verdade de p e q são:

- p: V e q: V                  - p: V e q: F                    - p: F e q: V                      

- p: F e q: F

  Para determinarmos o valor-verdade de uma proposição qualquer construímos uma tabela-verdade à partir dos valores-verdade das proposições simples que a compõem, obedecendo as seguintes definições:

NEGAÇÃO:

EXEMPLO 4:

  p: Pelé é brasileiro (V);  ∿ p: Pelé não é brasileiro (F)
  p: Caracas é a capital do Equador (F);  ∿ p: Caracas não é a capital do Equador        (V).

NOÇÕES DE LÓGICA # CONECTIVOS

  Podemos combinar as proposições de uma maneira definida, afim de formar novas proposições.

  Assim, por exemplo, dadas as proposições "Gosto de matemática" e "Estudo no Liceu Tiradentes", podemos formar as seguintes proposições:

(1) Não gosto de Matemática.

(2) Estudo no Liceu Tiradentes e gosto de Matemática.

(3) Gosto de Matemática ou estudo no Liceu Tiradentes.

(4) Se estudo no Liceu Tiradentes, então gosto de Matemática.

(5) Gosto de Matemática se, e somente se, estudo no Liceu Tiradentes.

  Dizemos que as duas proposições dadas são simples, enquanto as demais são chamadas compostas.

  Vamos agora introduzir, no quadro abaixo, uma linguagem simbólica, em que:

• as proposições simples serão representadas por letras latinas ( p, q, r, ...);
• os conectivos da nossa linguagem cotidiana serão representadas por símbolos chamados conectivos lógicos.

              

  Assim, chamamos p e q as proposições simples do exemplo anterior, ou seja, p:Gosto de Matemática e q:Estudo no Liceu Tiradentes, podemos escrever simbolicamente as proposições compostas formadas:

(1) ∿ p               (2) q ∧ q               (3) p ∨ q                 (4) q ⟶ p               (5) p ⟷ q 


EXEMPLO 2:

  Dadas as proposições "A neve é preta" e "4 é menor que 5", vamos representar simbolicamente as sentenças:

a) A neve não é preta e 4 é menos que 5.
b) Se 4 não é menor que 5, então a neve é preta.
c) Não é verdade que a neve é preta se, e somente se, 4 é menor que 5.

  Considerando p:A neve é preta e q:4 é menor que 5, temos as negações:
∿ p:A neve não é preta. 
∿ q:4 não é menor que 5 (ou 4 é maior ou igual a 5).

LOGO:
a) ∿ p ∧ q
b) ∿ q ⟶ p
c) ∿ ( p ⟷ q )


EXEMPLO 3:

 Considerando as proposições p: Amílcar é loiro e q: Amílcar é inteligente, podemos traduzir cada uma das sentenças seguintes para linguagem do cotidiano:

∿ p ∨ q: Amílcar não é loiro ou é inteligente.

∿ ( p ⟶ ∿ q ): Não é verdade que se Amílcar é loiro, então não é inteligente.

∿∿ q: Não é verdade que Amílcar não é inteligente, ou seja, Amílcar é inteligente.

NOÇÕES DE LÓGICA

  O estudo da Lógica teve início em Estagira, na Macedônia, com Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.), cujos trabalhos estão reunidos nos 6 volumes da obra intitulada Organon. O moderno desenvolvimento da Lógica inicia-se com a obra de George Boole (1815 - 1864) e de Augustos De Morgan (1806 - 1871). Em 1880,Giuseppe Peano (1858 - 1932) introduziu quase toda a simbologia atual da Matemática, permitindo uma visão mais perfeita e exata do mecanismo lógico das diversas teorias matemáticas. Como remate das investigações anteriores, Bertrand Russel (1872 - 1970) apresentou suas teses na obra Principia Mathematica ( três volumes: 1910, 1912 e 1913).

  Por definição, Lógica é a ciência da teoria do raciocínio, que tem como principal objetivo formular critérios que permitem analisar a legitimidade de um conjunto de palavras que exprimem um pensamento de sentido completo.
  Chama-se proposição ou sentença todo conjunto de palavras que exprimem um pensamento de sentido completo.
  Assim, uma preposição de ser uma expressão de uma linguagem, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Se aquilo que ela expressa corresponde à realidade, diremos que ela é verdadeira; caso contrário, ela é falsa.

OBSERVAÇÃO

• As proposições são expressas por orações declarativas.

         Exemplo: A Terra é redonda .

                        Godofredo não é estudioso.

• Orações interrogativas e imperativas não são proposições, pois nada afirmam acerca da realidade, não podendo, portanto, ser verdadeiras ou falsas.                                                                                                                                                                       Assim, não são proposições as expressões:                                                                                                                                                                                                             Quem comeu o bolo ?                                                                                                                                                                                                                                                          Que horas são ?                                                                                                                                                                                                                                                                 Saia já daqui !                                                                                                                                                                                                                                                                    Amai-vos uns aos outros.

• Toda proposição de obedecer aos dois princípios seguintes:

1. Princípio do terceiro excluído: toda proposição deve ser verdadeira ou falsa não havendo outra alternativa.                                                                                                                                        
2.  Princípio de não contradição: Uma preposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. 

  EXEMPLO 1:

  Vamos identificar quais das seguintes sentenças são proposições:

a) Maceió é a capital de Alagoas.

b) 5 x 3 = 12

c) X - 1 = 4

d) 5 < 12

e) Qual é o seu nome ?

f) X + 2Y

  São proposições as sentenças dos itens a, b e d, sendo a e d verdadeiras e b falsa.

  Não podem ser consideradas proposições :

• X - 1 = 4, pois não pode ser considerada verdadeira ou falsa;
• Qual é o seu nome ? , pois é uma oração interrogativa;
• X + 2Y, pois falta predicado.

                                                                                        

O DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÃO

              

            Leonhard Euler, quadro a óleo por
            Johann Georg Brucker.

 A ideia de função que temos hoje em dia foi sendo construída ao longo do tempo por vários matemáticos. Observe:

·         O matemático alemão G.W.Leibniz ( 1646 – 1716 ) introduziu as palavras função, constante e variável na linguagem matemática.

·         A anotação f(x) para indicar a lei de uma função foi introduzida pelo matemático suíço L. Euler (1707 – 1783).

·         O matemático alemão P. G. Lejeune Dirichlet ( 1805 – 1859 ) deu uma definição muito próxima da que se usa hoje em dia.

·         Por fim , com a criação da teoria dos conjuntos no fim do século XIX, foi possível definir a função como um conjunto de pares ordenados ( x , Y ) em que X é elemento de um conjunto A, Y é elemento de um conjunto B e, para todo x ∈ A, existe um único y ∈ B tal que ( x, y ) ∈ f.

O NÚMERO DE OURO

Um número irracional bem conhecido por suas inúmeras aplicações e curiosidades é o número de ouro, frequentemente representado pela letra grega F ( lê-se: fi ) , cujo valor é 1,61803... .

  Na escola pitágorica grega ( século V a.C. ), era bastante difundida a ideia de dividir um segmento em média e extrema razão. Basicamente, era preciso dividir um segmento em duas partes, tais que a razão entre as medidas da parte menor e da maior fosse igual à razão entre as medidas da parte menor e da parte maior fosse igual à razão entre as medidas da maior parte e o segmento total. Assim, para dividir um segmento MN de medida Z conhecida nessa razão, é preciso determinas o ponto P tal que:

                                          Pitágoras (570 a.C. 497 a.C.)foi um filósafo e
                                        matemático grego, fundador da chamada escola
                                        pitagórica de pensamento.

                                        (Museu Capitolino, Roma).

  Provavelmente os pitagóricos usavam um método geométrico para fazer tal divisão, uma vez que não reconheciam os números irracionais, pois acreditavam que a razão entre as medidas de dois segmentos quaisquer poderia expressar como quociente de dois números naturais.

  Um Retângulo áureo é aquele em que a razão entre as medidas de suas dimensões é F = 1,618... . Os gregos usavam essa razão como critério estético. Até hoje acredita-se ser essa a razão mais harmoniosa entre as medidas de comprimento e da largura de um retângulo. Os cartões bancários atuais, por exemplo, são confeccionados de modo que a razão entre suas medidas seja, aproximadamente, igual a 1,6. O Partenon, em Athenas, construído no século V a.C., tem o contorno imaginário de um retângulo áureo. O símbolo F é a inicial de Fídias, escultor encarregado da construção do Partenon.

             
O Partenon, um dos monumentos mais famosos
do mundo, foi construído no século V a.C. em
homenagem á deusa Atena.

    Na Idade Média, a razão áurea aparece na obra Liber Abaci (1202), de Fibonacci. Já na Renascença italiana, a obra De divina proportione, de Luca Pacioli (1509), diz respeito a essa razão. Nasartes, a famosa mona lisa ( ou La Gioconda ), de Leonardo da Vinci (1452 – 1519), utiliza o número F nas relações entre seu tronco e cabeça e também entre os elementos do rosto. Se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que se trata de um retângulo áureo. Não menos famosa a obra O homem vitruviano, do mesmo autor, traz as anatômicas de simetria e beleza do corpo humano. ( Por exemplo, a razão entre a medida da altura do corpo e a medida do umbigo até o chão é, aproximadamente, igual a  F ).