A INVENÇÃO DOS LOGARITMOS

  Credita-se ao escocês John Napier ( 1550 - 1617 ) a descoberta dos logarítimos, embora outros matemáticos da época, como o suíço Jobst Bürgi ( 1552 - 1632 ) e o inglês Henry Briggs ( 1561 - 1630 ), também tenha dado a importantes contribuições.

  A invenção dos logaritmos causou grande impacto nos meios científicos da época, pois eles representavam um poderoso instrumento do comércio, da navegação e da Astronomia. Até então, multiplicações e divisões com números muito grande feitas com auxílio de relações trigonométricas.

  Basicamente, a ideia de Napier foi associar os termos da sequência ( b; b²; b³; b⁴; ... ; bⁿ ) aos termos de outra sequência ( 1, 2, 3, 4, 5, ..., n ), de forma que o produto de dois termos quaisquer da primeira sequência ( bˣ ∙ bˠ = bˣ ⁺ ˠ ) estivesse associado à soma X + Y dos termos da segunda sequência.

VEJA O EXEMPLO:

① 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 1 0 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15

② 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256 - 512 - 1024 - 2048 - 4096 - 8192 - 16394 - 32788

Para fazer 512 ∙ 64 note que:

• o termo 512 de ② corresponde ao termo 9 de ①;
• o termo 64 de ② corresponde ao termo 6 de ①;
• assim, a multiplicação 521 ∙ 64 corresponde à soma de 9 + 6 = 15 em ①, cujo correspondente em ② é 32788, que é o resultado procurado.

  Em linguagem atual os elementos da 1ª linha da tabela correspondem ao logaritmo em base 2 dos respectivos elementos da 2ª linha da tabela.

  Em seu trabalho Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos, datado de 1614, Napier considerou uma outra sequência de modo que seus termos eram muito próximos uns dos outros.

  Ao ter contato com essa obra, Briggs sugeriu a Napier uma pequena mudança: uso de potência de 10. Era o surgimento dos logaritmos decimais, como conhecemos até hoje.

  Durante um bom tempo os logaritmos prestaram-se à finalidade para a qual foram inventados: facilitar cálculos envolvendo números muito grandes. Com o desenvolvimento tecnológico e o surgimento de calculadoras eletrônicas, computadores etc., esse finalidade perdeu a importância.

  No entanto, a função logarítmica e a sua inversa, a função exponencial, podem representar diversos fenômenos físicos, biológicos e econômicos e, deste modo jamais perderão sua importância.

O DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÃO

              

            Leonhard Euler, quadro a óleo por
            Johann Georg Brucker.

 A ideia de função que temos hoje em dia foi sendo construída ao longo do tempo por vários matemáticos. Observe:

·         O matemático alemão G.W.Leibniz ( 1646 – 1716 ) introduziu as palavras função, constante e variável na linguagem matemática.

·         A anotação f(x) para indicar a lei de uma função foi introduzida pelo matemático suíço L. Euler (1707 – 1783).

·         O matemático alemão P. G. Lejeune Dirichlet ( 1805 – 1859 ) deu uma definição muito próxima da que se usa hoje em dia.

·         Por fim , com a criação da teoria dos conjuntos no fim do século XIX, foi possível definir a função como um conjunto de pares ordenados ( x , Y ) em que X é elemento de um conjunto A, Y é elemento de um conjunto B e, para todo x ∈ A, existe um único y ∈ B tal que ( x, y ) ∈ f.

O NÚMERO DE OURO

Um número irracional bem conhecido por suas inúmeras aplicações e curiosidades é o número de ouro, frequentemente representado pela letra grega F ( lê-se: fi ) , cujo valor é 1,61803... .

  Na escola pitágorica grega ( século V a.C. ), era bastante difundida a ideia de dividir um segmento em média e extrema razão. Basicamente, era preciso dividir um segmento em duas partes, tais que a razão entre as medidas da parte menor e da maior fosse igual à razão entre as medidas da parte menor e da parte maior fosse igual à razão entre as medidas da maior parte e o segmento total. Assim, para dividir um segmento MN de medida Z conhecida nessa razão, é preciso determinas o ponto P tal que:

                                          Pitágoras (570 a.C. 497 a.C.)foi um filósafo e
                                        matemático grego, fundador da chamada escola
                                        pitagórica de pensamento.

                                        (Museu Capitolino, Roma).

  Provavelmente os pitagóricos usavam um método geométrico para fazer tal divisão, uma vez que não reconheciam os números irracionais, pois acreditavam que a razão entre as medidas de dois segmentos quaisquer poderia expressar como quociente de dois números naturais.

  Um Retângulo áureo é aquele em que a razão entre as medidas de suas dimensões é F = 1,618... . Os gregos usavam essa razão como critério estético. Até hoje acredita-se ser essa a razão mais harmoniosa entre as medidas de comprimento e da largura de um retângulo. Os cartões bancários atuais, por exemplo, são confeccionados de modo que a razão entre suas medidas seja, aproximadamente, igual a 1,6. O Partenon, em Athenas, construído no século V a.C., tem o contorno imaginário de um retângulo áureo. O símbolo F é a inicial de Fídias, escultor encarregado da construção do Partenon.

             
O Partenon, um dos monumentos mais famosos
do mundo, foi construído no século V a.C. em
homenagem á deusa Atena.

    Na Idade Média, a razão áurea aparece na obra Liber Abaci (1202), de Fibonacci. Já na Renascença italiana, a obra De divina proportione, de Luca Pacioli (1509), diz respeito a essa razão. Nasartes, a famosa mona lisa ( ou La Gioconda ), de Leonardo da Vinci (1452 – 1519), utiliza o número F nas relações entre seu tronco e cabeça e também entre os elementos do rosto. Se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que se trata de um retângulo áureo. Não menos famosa a obra O homem vitruviano, do mesmo autor, traz as anatômicas de simetria e beleza do corpo humano. ( Por exemplo, a razão entre a medida da altura do corpo e a medida do umbigo até o chão é, aproximadamente, igual a  F ).