FRAÇÕES

Na matemática, as frações correspondem a uma representação das partes de um todo. Ela determina a divisão de partes iguais sendo que cada parte é uma fração do inteiro.

Como exemplo podemos pensar numa pizza dividida em 8 partes iguais, sendo que cada fatia corresponde a 1/8 (um oitavo) de seu total. Se eu como 3 fatias, posso dizer que comi 3/8 (três oitavos) da pizza.

Importante lembrar que nas frações, o termo superior é chamado de numerador enquanto o termo inferior é chamado de denominador.

Tipos de Frações
Fração Própria
São frações em que o numerador é menor que o denominador, ou seja, representa um número menor que um inteiro. Ex: 2/7

Fração Imprópria
São frações em que o numerador é maior, ou seja, representa um número maior que o inteiro. Ex: 5/3

Fração Aparente
São frações em que o numerador é múltiplo ao denominador, ou seja, representa um número inteiro escrito em forma de fração. Ex: 6/3= 2

Fração Mista
É constituída por uma parte inteira e uma fracionária representada por números mistos. Ex: 1 2/6. (um inteiro e dois sextos)

Obs: Há outros tipos de frações, são elas: equivalente, irredutível, unitária, egípcia, decimal, composta, contínua, algébrica.


Operações com Frações
Adição
Nas adições fracionárias, utiliza-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) realizado a partir de seus denominadores, ou seja, o menor número múltiplo dos dois.

Subtração

Tanto na adição quanto na subtração é necessário encontrar o Mínimo Múltiplo Comum, (MMC), isto é, os números múltiplos comuns aos denominadores.

Multiplicação
Na multiplicação fracionária, multiplicam-se os numeradores entre si, bem como seus denominadores.

Divisão

Na divisão entre duas frações, multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda, ou seja, inverte-se o numerador e o denominador da segunda fração.

História das Frações

A história das frações remonta o Antigo Egito (3.000 a.C.) e traduz a necessidade e a importância para o ser humano acerca dos números fracionários.

Naquele tempo, os matemáticos marcavam suas terras para delimitá-las. Com isso, nas épocas chuvosas o rio passava do limite e inundava muitas terras e, consequentemente, as marcações.

Diante disso, os matemáticos resolveram demarcá-las com cordas a fim de resolver o problema inicial das enchentes.

Contudo, notaram que muitos terrenos não eram compostos somente por números inteiros, havia os terrenos que mediam partes daquele total.

Foi a partir disso, que os geômetras dos faraós do Egito, começaram a utilizar os números fracionários. Note que a palavra Fração é proveniente do latim fractus e significa “partido”.

SENO, COSSENO E TANGENTE

Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulos retângulos. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados.

O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.


De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:

Seno (Sen  )

É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Cosseno (Cos )

É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Tangente (Tg )

É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Tabela Trigonométrica

Na tabela trigonométrica consta o valor de cada razão trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º.

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos e por isso, eles são chamados de ângulos notáveis.

TEORIA EUCLIDIANA

Alguns conceitos importantes da geometria euclidiana nos estudos da trigonometria são:

Lei dos Senos

A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante.


Dessa forma, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:




Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados, corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Dessa maneira, sua fórmula é representada da seguinte maneira:




Lei das Tangentes

A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.

Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e ângulos α, β e γ, opostos a estes três lados, têm-se a expressão:





Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e matemático grego, Pitágoras de Samos, (570 a.C. - 495 a.C.), é muito utilizado nos estudos trigonométricos.

Ele prova que no triângulo retângulo, composto por um ângulo interno de 90° (ângulo reto), a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa:

a2 = c2+ b2

Sendo,

a: hipotenusa

c e b: catetos

TRIGONOMETRIA

A trigonometria é uma parte da matemática que as diferenças entre os lados e os ângulos dos triângulos.

Ela é aplicada também em outras áreas do estudo como física, química, biologia, geografia, astronomia, medicina, engenharia, etc.